✨ سلام دوستان و همراهان عزیز! امروز می‌خواهیم به حل یک مسئله‌ی جذاب از مبحث ترکیبیات بپردازیم. تصور کنید ۲۰ نقطه روی یک خط راست داشته باشیم. سوال این است که چه تعداد پاره‌خط می‌توان با استفاده از این نقاط تشکیل داد؟ 🤩
برای تشکیل یک پاره‌خط، به دو نقطه نیاز داریم. بنابراین، مسئله‌ی ما در واقع انتخاب ۲ نقطه از بین ۲۰ نقطه‌ی موجود است. این یک مسئله‌ی ترکیب است، زیرا ترتیب انتخاب نقاط مهم نیست (انتخاب نقطه A و سپس B با انتخاب نقطه B و سپس A یک پاره‌خط یکسان را ایجاد می‌کند). 🤓
فرمول محاسبه‌ی تعداد ترکیب‌های n شیء به k شیء به صورت زیر است:
در مسئله‌ی ما، n = 20 (تعداد کل نقاط) و k = 2 (تعداد نقاط مورد نیاز برای تشکیل یک پاره‌خط) است. بنابراین:
بنابراین، با استفاده از ۲۰ نقطه می‌توان ۱۹۰ پاره‌خط تشکیل داد. 🎉
بیایید مسئله را به صورت گام به گام بررسی کنیم. 🧐
اگر این اعداد را با هم جمع کنیم، خواهیم داشت:
این یک تصاعد حسابی است که می‌توان از فرمول زیر برای محاسبه‌ی مجموع آن استفاده کرد:
در اینجا، n = 19 (تعداد جملات تصاعد)، a1 = 19 (جمله‌ی اول) و an = 1 (جمله‌ی آخر) است. بنابراین:
همانطور که می‌بینید، با استفاده از این روش نیز به نتیجه‌ی ۱۹۰ پاره‌خط می‌رسیم. 🥳
در ریاضیات، مسئله‌ی انتخاب k شیء از بین n شیء بدون در نظر گرفتن ترتیب، به عنوان ترکیب شناخته می‌شود. این مفهوم اساسی در ترکیبیات است و کاربردهای فراوانی دارد. 🤓
فرمول محاسبه‌ی تعداد ترکیب‌ها به صورت زیر است:
در این فرمول، n! به معنای فاکتوریل n است که حاصل ضرب تمام اعداد صحیح مثبت از ۱ تا n می‌باشد. برای مثال، 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.
در مسئله‌ی ما، می‌خواهیم تعداد پاره‌خط‌هایی را که می‌توان با استفاده از ۲۰ نقطه تشکیل داد محاسبه کنیم. همانطور که قبلاً گفتیم، برای تشکیل یک پاره‌خط به دو نقطه نیاز داریم. بنابراین، n = 20 و k = 2 است.
بنابراین، تعداد پاره‌خط‌های ممکن ۱۹۰ است. 🤩